Vous ne pouvez pas “entendre” la forme d’un tambour, mais il y a encore tellement de dimensions à explorer

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Pourquoi ne regardes-tu pas les beignets 16D ?

« Pouvons-nous entendre la forme d’un tambour ? n’est pas une énigme inventée par Coluche, mais plutôt le titre d’un article scientifique publié en 1966 par Mark Kac. Le mathématicien polono-américain, explique Scientific American, s’est posé la question suivante : Si vous entendiez quelqu’un tambouriner, et en supposant que vous connaissiez les fréquences qui correspondent aux sons perçus, seriez-vous capable de déterminer la forme exacte de l’instrument utilisé pour les produire ? Ou au contraire y a-t-il plus d’un tambour capable de produire les sons en question ?

Traiter un tel problème relève en fait de la géométrie spectrale, et plus précisément d’un travail sur l’isospectralité. En 1968, ses recherches ont valu à Mark Kac le prestigieux prix Chauvenet, décerné par la Mathematical Association of America. Le travail du mathématicien a été une étape importante car il a inspiré d’autres scientifiques, qui ont soulevé des questions similaires sur d’autres formes et surfaces.

Mais la question concernant la batterie ne s’arrête pas là : en 1991 une équipe américaine composée de Carolyn Gordon, David L. Webb et Scott Wolpert parvient à montrer que non, les sons perçus ne permettent pas de déterminer avec certitude la batterie : la même plage de fréquence peut correspondre à plusieurs instruments.

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Est-ce que plus d’un âne s’appelle Maarten ?

L’unicité existe pour certaines formes comme les triangles, les parallélogrammes ou encore les cônes tronqués – imaginez un cornet de glace dont vous avez préalablement retranché une partie plus ou moins importante de la pointe en chocolat. La question de la relation entre une forme et son ensemble de fréquences (ou valeurs propres, comme on dirait en mathématiques) “est loin d’être clos, d’un point de vue théorique et du point de vue des perspectives pratiques”, comme nous avons pu le lire dans un rapport de 2018.

Il faut dire que les recherches menées ont tout simplement permis aux scientifiques de se rendre compte que les questions posées relevaient d’un domaine passionnant : celui des dimensions supérieures. Et ce sont notamment les travaux de Julie Rowlett, mathématicienne américaine basée à Göteborg (Suède), qui permettent actuellement de faire avancer les choses.

Dans un article inédit, elle tente de faire le pont entre les espaces tridimensionnels et les espaces mathématiques un peu plus abstraits, car constitués de… seize dimensions. Pourquoi passer de trois à seize ? Parce que d’un point de vue mathématique, c’est plus facile à visualiser qu’un espace avec, par exemple, quatorze ou quinze dimensions. Ce n’est peut-être pas pour les simples mortels, mais pour les scientifiques du calibre de Julie Rowlett, c’est presque un jeu d’enfant.

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Les recherches du mathématicien portent plus particulièrement sur les tores plats à seize dimensions. Dans un monde plat, un tore plat “juste un cercle”, elle explique. Dans un univers tridimensionnel, cela devient une surface très similaire à celle d’un beignet, mais seulement la surface, pas l’intérieur. En seize dimensions, c’est un peu plus difficile à visualiser – c’est le moins qu’on puisse dire – mais cela n’a pas empêché le mathématicien John Milnor de prouver dès 1964 qu’on n’entendait pas la forme d’un tore plat à 16 dimensions.

applications folles

Et qu’en est-il des dimensions inférieures? C’est là que Julie Rowlett et son équipe ont voulu intervenir. Avec un objectif clair : il s’agit de démontrer qu’on ne peut entendre la forme d’un tore plat que dans un espace de dimension inférieure ou égale à 3. Autrement dit, dans tout monde à au moins quatre dimensions, le tore plat ne serait pas audible.

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A leur grande surprise, l’équipe de Rowlett s’est rendu compte qu’en 1990 un mathématicien allemand nommé Alexander Schiemann avait déjà formulé et démontré ce résultat, mais présentait les choses très différemment : pas d’isospectralité dans son raisonnement, rendant le résultat difficilement détectable. “L’article qui contenait la preuve mathématique ne mentionne même pas le mot ‘tore'”, a commenté Julie Rowlett.

Ces résultats ont des applications concrètes, car ils peuvent être exploités indirectement dans des domaines tels que la réalité virtuelle, l’acoustique architecturale ou l’audio-légale. Maintenant, souligne Scientific American, il est temps d’examiner d’autres types de surfaces et d’essayer d’établir des résultats similaires dans des univers à plus de trois dimensions.

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slate.fr

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